「直觀」在證明中有地位嗎？：讀《機運之謎：數學家Mark Kac的自傳》
在Mark Kac的自傳最後，他提出了一個很有意思的說法，叫作「相對性的公理化」[1]。我認為這個詞語說得很好，能夠讓我們把「形式思考」的不同方式區分的更清楚。
在19-20世紀建立的新邏輯系統，以羅素和懷海德合著的《數學原理》為代表，試圖把所有的數學／邏輯學定理還原為一組可用符號表示的邏輯公理。這樣做的目的，是為了讓我們在數學和邏輯應用中所做的推論，能夠有穩固的、非正確不可的基礎。
我們這裡不討論前述「邏輯主義」的嘗試能不能成功，而是想討論另一個問題：傳統的邏輯和幾何學，一樣也是基於形式化、公理化的方式來進行推論；那麼，20世紀的「公理化數學」（即Kac用引號括起來的「新數學」），和傳統的數學／邏輯學有什麼差異呢？
我們先來看看它們相同的地方。不論是一般數學或公理化數學，都是由「公理」、「定理」和「證明（過程）」三個要素組成。「公理（或公設）」是在一個系統內顯而易見、或邏輯上不可能有相反情況的基本事實；並且，如果有一個事實在這個系統內是可證明的，那就是說我們應當可以以公理為前提，用合乎邏輯規則的論證，將這個事實推導出來。而這樣可證明的事實就稱為「定理」。也就是說，總體來看，這種「公理—證明—定理」的三層結構，是一般數學和公理化數學相同的地方。
那麼，它們不同的地方，首先便會出在「公理」這個最基礎的環節上。讓我們來看看研究傳統邏輯的哲學家怎麼說。羅光在《士林哲學——理論篇》裡，這樣解釋在士林哲學的版本中，詞項邏輯系統「公理必由經驗而來」的定理。羅光說：
推論所用的最基本原理，是由歸納而得的。因為不然，這些最基本的原理便該是天生的了。然而，人所有的觀念，沒有天生的，都是由人的經驗而得的。因此，推論用的基本原理所有的觀念，是由感覺的經驗以構成的。不過，這些觀念的互相接合，理智則一望而知，用不著另找理由去證明，假使不是這樣，一項理由追求另一項理由，便沒有止境了，因此，最基本的原理，該當是不用證明，就明白的原理。[2]
數學上的公理，定理，公法，由歸納而成。我們在上面已經說過，不得證明的原理，是由經驗而得；因為理智在具體的事例上，透視出共通的公理。[3]
根據前面的這些敘述，一般數學和詞項邏輯的「公理」是建諸於經驗之上，而不是建諸於邏輯之上。但是，公理化數學的「公理」則只是一組用符號組成的邏輯式；這些公理之所以為真，只是因為我們（人類）規定符號是這樣運用的，而不是因為公理對應到任何事實。
從這個角度來看，一般數學和公理化數學的不同就很明瞭了；一般數學的公理，仍然建立在經驗之上，或用一個康德式的術語，是建立在「直觀」之上。而「公理」是整棟數學／邏輯學大廈的根基；那麼，整個一般數學，便都是建築在「直觀」之上。這就無怪乎哲學家尤格拉（Palle Yourgrau）把一般數學稱為「直觀數學」[4]（intuitive arithmetic）。
從這裡再回來看Kac對一般幾何學和「新數學」之間不同的觀察，尤其可見出Kac令人驚喜的洞識。Kac說：
當你學習初等幾何學時，很可能是在「新數學」嚴格公理化猖狂起來之前，所遇到的是那種舊式的幾何。它處理幾何採用的方法，一部分是直觀的，一部分是嚴格的——不妨叫做相對性的公理化。你探討的是點、直線、三角形、直角、全等、相似以及所有的種種事物。但你曾經有過，無法真正了解什麼是點或什麼是直線嗎？
[5]換言之，在一般數學，雖然我們從「公理」推論出「定理」，但是公理和定理都基於我們的「直觀」（即我們的經驗）。所以，Kac把這種不排拒直觀的公理系統稱為「相對性的公理化」。或者我們借用這個說法，也可以把不排拒直觀的形式系統（如亞里斯多德式的邏輯）稱為「相對性的形式化」。這算是解決了我個人在理解邏輯學時，很難清楚的理解「形式化」的意思究竟是什麼的問題。
最後，再讓我們看看Kac對於數學積極的主張。他主張：「數學」是直觀（他稱之為「想像力與洞察」）和邏輯必然性之間互相增益、共同促進的內容，而不能割捨其中的任何一面。我借用他一句精彩簡潔的話，來作為本文結論。Kac說：
在數學中，邏輯是一種牢固的制約，只能提供「不可避免性」的結論，但是「驚奇」的要素必須來自邏輯的外部，透過想像力與洞察得到。[6]
註解：
[1]Mark Kac著，蔡聰明譯：《機運之謎：數學家Mark Kac的自傳》（臺北：三民書局股份有限公司，2013年），頁229。
[2]羅光：《士林哲學——理論篇》，《羅光全書．冊20》（臺北：臺灣學生書局，1996年），頁136。
[3]羅光：《士林哲學——理論篇》，《羅光全書．冊20》，頁139。
[4]帕利．尤格拉（Palle Yourgrau）著，尤斯德、馬自恆譯：《沒有時間的世界——愛因斯坦與數學大師哥德爾》（臺北：商周出版．城邦文化事業股份有限公司，2006年），頁96。
[5]Mark Kac著，蔡聰明譯：《機運之謎：數學家Mark Kac的自傳》，頁229。
[6]Mark Kac著，蔡聰明譯：《機運之謎：數學家Mark Kac的自傳》，頁231。
2024/05/26