機器學習基本知識：維度 (Dimension) 的兩種意義

2022 年 7 月 30 日

前言

在學習線性代數或是深度學習的數學運算時，經常需要對高維度的向量、矩陣進行運算。我們都知道純量 (Scalar) 屬於 0 維、向量 (Vector) 屬於 1 維、矩陣 (Matrix) 屬於 2 維度，超過 3 維就統稱為張量 (Tensor)。（當然 Scalar、Vector 與 Matrix 也都可以視為 Tensor）

然而，如果有一個 Vector 包含 5 個數字，例如：[1, 2, 3, 4, 5]，我們又會稱這一個 Vector 是一個 5 維的向量。

Vector 究竟是 1 維還是 N 維呢？讓我們繼續看下去！

純量 (Scalar)、向量 (Vector)、矩陣 (Matrix) 與張量 (Tensor)

首先，我們需要先釐清純量 (Scalar)、向量 (Vector)、矩陣 (Matrix) 與張量 (Tensor)的觀念。

如上圖所示，Scalar 通常就是指一個數字 (Single Value)，它的 shape 中沒有任何元素，也就是沒有任何「軸」(Axes)，也可以稱其為 Rank-0 的 Tensor。Vector 指的是一個序列的數字 (List of Values)，它的 shape 中有一個元素，也就是其具有一個軸，也可以稱其為 Rank-1 的 Tensor。Matrix 則是由兩個軸的元素所組成，因此 shape 中有兩個元素，也可以稱其為 Rank-2 的 Tensor。

當軸數來到 3 個以上時，我們就通稱為 Tensor，此時的 shape 中有 3 個元素，也可以稱其為 Rank-3 的 Tensor。

維度 (Dimension)：「軸」的個數 or 「向量中元素」的個數

由此可知，當我們說 Scalar 是 0-Dimension、Vector 是 1-Dimension、Matrix 是 2-Dimension 時，這裡的 Dimension 指的是「軸」的數量。

然而，如果我們只聚焦在 Vector 上，當我們在描述 Vector 的 Dimension 時，其實是在描述他所處的「向量空間」(Vector Space)。舉例來說：

[1, 2, 3] 處在 3-Dimension Vector Space
[-1, -5, 4, 5, 8] 處在 5-Dimension Vector Space
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0] 處在 7-Dimension Vector Space

由此可知，Dimension 有兩種意義：

Vector 中的元素數量 (代表這一個 Vector 所處的 Vector Space)
Tensor 的軸數 (代表這一個 Tensor 的 Rank)

結語

在本篇文章，我們簡單介紹純量 (Scalar)、向量 (Vector)、矩陣 (Matrix) 與張量 (Tensor) 的概念，並說明維度 (Dimension) 的兩種意義。

參考

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