AI金融科技應用實務 - Day1 課程筆記 - Python與金融 - Black-Scholes Model (BSM)觀念 - 實作蒙地卡羅估價演算法，來幫助我們推導出股票的合理價格 - Part2

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2021 年 8 月 28 日

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1. Python在金融業中所解決的問題

即時分析的需求不斷提高
對於數度、頻率和數據量需求的大幅提升
新拓展的業務和創新的動力需仰賴科技來推動
金融業所負擔的技術成本

2. Black-Scholes Model (BSM) 觀念與實作

老師想用Black-Scholes Model (BSM) 帶大家了解如何使用Python來實作演算法，這邊想用BSM數學模型，並使用蒙地卡羅估價演算法 Monte Carlo Method來實作

什麼是Black-Scholes Model (BSM)?

首先由美國經濟學家麥倫．舒爾斯和費雪．布萊克提出
為一種衍生性金融商品中的期權定價的數學模型
此模型適用於沒有派發股利的歐式期權
模型說明期權的潛在風險因素將會遵從幾何布朗運動(Geometric Brownian Motion)

補充: 羅伯特．C．墨頓在之後修改了模型，讓模型也可以針對派發股利的情況下使用

接下來我們將透過蒙地卡羅估價演算法 Monte Carlo Method來模擬針對歐式買權的估價，簡單來說就是我們使用Monte Carlo Method來推論出我們合理的買進股票價格

於Black-Scholes Model (BSM)模型中，到期日股價會由下面的公式推導出來的隨機變數

計算公式

參數解釋

初始股價: S0
歐式買權履約價: K
到期日所剩時間(單位: 年): T
無風險利率: r
波動率: sigma
標準常態分佈的隨機變數(不需要自行設定): z

蒙地卡羅估價演算法 - 實作

什麼是蒙地卡羅估價演算法 Monte Carlo Method?

又稱為統計類比方法
為一種機率統計理論為指導的數值計算方式，指使用亂數(或是更加常用的偽亂數)來處理很多計算問題的方法
根據資產價格的變動進行一場隨機的模擬，進而推出選擇權的可能價格

計算過程

將從標準常態分佈中抽取I個偽隨機數值z(i)，I也會代表我們將要使用Monte Carlo Method模擬幾次
針對每個給定z(i)，推導出到期日的可能股價 ST: ST = S0 * np.exp((r - sigma ** 2 / 2) *Ｔ + sigma * math.sqrt(T) * z)
計算出所有到期日的選擇權內含價值(intrinsic value): hT = np.maximum(ST - K, 0)
使用Monte Carlo Method估計值來計算選擇權理論現值: C0 = math.exp(-r * T) * np.mean(hT)

import math
import numpy as np

S0 = 100 # 初始股價
K = 105 # 歐式買權履約價
T = 1.0 # 到期日所剩時間
r = 0.05 # 無風險利率
sigma = 0.2 # 波動率

I = 100000 # 模擬蒙地卡羅幾次
np.random.seed(1000) # 初始化偽隨機變數
z = np.random.standard_normal(I) # 抽取標準常態分佈隨機亂數
print(z)

ST = S0 * np.exp((r - sigma ** 2 / 2) *Ｔ + sigma * math.sqrt(T) * z) # 求算到期日股價
print(ST)

hT = np.maximum(ST - K, 0) # 求算到期日選擇權內含價值
print(hT)

C0 = math.exp(-r * T) * np.mean(hT) # 求算蒙地卡羅估計直
print('Value of the European call options = {:5.6f}.'.format(C0))

執行結果

[-0.8044583 0.32093155 -0.02548288 ... 2.05563421 -0.31621237
 -0.19326188]
[ 87.73128167 109.8764437 102.52161044 ... 155.44578614 96.73039856
 99.13849486]
[ 0.    4.8764437 0.    ... 50.44578614 0.
 0.   ]
Value of the European call options = 8.019103.

補充:本利和公式 - 實作

capital = 100 ## 本金
r = 0.05 ## 投資年限
T = 1 ## 期數
total = capital * (1 + r) ** T
print(total)

執行結果

105.0

3. 為什麼Python適合當金融科技實作的語言?

從上面的實作中，我們可以知道為什麼使用Python來進行金融技術模型的實作是相當有用的

語法: Python的語法相當界進數學公式與法(像是帶入參數值時)
翻譯: 大部分的情況下，可以用一行Python程式碼來表達很多種的數學演算法
向量化: 使用NumPy很大的優點之一，就是簡潔的向量化語法撰寫(像是可以在一行程式碼中執行1000次的計算)

4. 課堂實作

情境: 針對標普500指數架構的資料，分析過往幾年的歷史指數價格，觀察指數的波動率是如何跟著時間波動的，並希望能夠證明波動率跟著時間變動而波動，而不是像一些典型的模型所假設的波動率為不變的常數

import numpy as np
import pandas as pd
from pylab import plt, mpl

## 視覺化的設定
plt.style.use('seaborn')
mpl.rcParams['font.family'] = 'serif'
%matplotlib inline

## 導入數據集
df = pd.read_csv('tr_eikon_eod_data.csv')

## 拿出'.SPX'數據，並組成DataFrame
data = pd.DataFrame(df['.SPX'])

## 將缺失值移除掉
data.dropna(inplace = True)
print(data.info())

## 用向量化方式進行Log運算，所計算出的值
data['rets'] = np.log(data / data.shift(1)) ## shift 將數據向下移動一位

## 計算推導出滾動的年化波動率
data['vola'] = data['rets'].rolling(252).std() * np.sqrt(252)

## 視覺化 - 指數價格、波動率
data[['.SPX', 'vola']].plot(subplots = True, figsize = (10, 6))

執行結果